Trong giải tích một biến, tích phân xác định $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ biểu diễn diện tích ròng dưới một đường cong. Khi chúng ta bước vào chiều thứ ba, chúng ta mở rộng lập luận này để tìm thấy thể tích dưới một mặt phẳng $z = f(x, y)$.
1. Định nghĩa chính thức
Chúng ta định nghĩa tích phân kép của hàm số $f$ trên một hình chữ nhật đóng $R = [a, b] \times [c, d]$ là giới hạn của tổng Riemann kép:
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
trong đó $\Delta A = \Delta x \Delta y$ là diện tích của một hình chữ nhật con $R_{ij}$, và $(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ là bất kỳ điểm mẫu nào bên trong $R_{ij}$.
1. Phân chia hình học: Chia hình chữ nhật $R$ thành $m \times n$ các hình chữ nhật con $R_{ij}$ với $x_i = a + i\Delta x$ và $y_j = c + j\Delta y$.
2. Xấp xỉ khối lượng: Với mỗi $R_{ij}$, xây dựng một cột có chiều cao $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$. Thể tích $V$ của khối $S$ được xấp xỉ bởi $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$.
3. Giới hạn: Khi lưới trở nên vô cùng mịn ($m, n \to \infty$), giá trị xấp xỉ tiến đến thể tích chính xác.
2. Định lý giá trị trung bình
Giống như giá trị trung bình một chiều của một đường cong là $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$, giá trị trung bình của một bề mặt $z=f(x,y)$ trên một miền $R$ là:
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
Giá trị $f_{ave}$ này đại diện cho chiều cao của một khối hộp chữ nhật duy nhất có đáy là $R$, sẽ chứa cùng một thể tích như khối phức tạp nằm dưới bề mặt.